后世法胜於古，而屡改益密者，惟历为最著。《唐志》谓天为动物，久则差忒，不得不屡变其法以求之。此说似矣，而不然也。《易》曰：“天地之道，贞观者也。”盖天行至健，确然有常，本无古今之异。其岁差盈缩迟疾诸行，古无今有者，因其数甚微，积久始著。古人不觉，而后人知之，而非天行之忒也。使天果久动而差忒，则必差参凌替而无典耍，安从修改而使之益密哉？观传志所书，岁失其次、日度失行之事，不见於近代，亦可见矣。夫天之行度多端，而人之智力有限，持寻尺之仪表，仰测穹苍，安能洞悉无遗。惟合古今人心思，踵事增修，庶几符合。故不能为一成不易之法也。
黄帝迄秦，历凡六改。汉凡四改。魏迄隋，十五改。唐迄五代，十五改。宋十七改。金迄元，五改。惟明之《大统历》，实即元之《授时》，承用二百七十馀年，未尝改宪。成化以后，交食往往不验，议改历者纷纷。如俞正己、冷守中不知妄作者无论已，而华湘、周濂、李之藻、刑云路之伦颇有所见。郑世子载堉撰《律历融通》，进《圣寿万年历》，其说本之南部御史何瑭，深得《授时》之意，而能补其不逮。台官泥於旧闻，当事惮於改作，并格而不行。崇祯中，议用西洋新法，命阁臣徐光启、光禄卿李天经先后董其事，成《历书》一百三十馀卷，多发古人所未发。时布衣魏文魁上疏排之，诏立两局推验。累年校测，新法独密，然亦未及颁行。由是观之，历固未有行之久而差者，乌可不随时修改，以求合天哉。
今采各家论说，有裨於历法者，著於篇端。而《大统历》则述立法之原，以补《元志》之未备。《回回历》始终隶於钦天监，与《大统》参用，亦附录焉。
▲历法沿革
吴元年十一月乙未冬至，太史院使刘基率其属高翼上戊申《大统历》。太祖谕曰：“古者季冬颁历，太迟。今於冬至，亦未善。宜以十月朔，著为令。”洪武元年改院为司天监，又置回回司天监。诏徵元太史院使张佑、回回司天太监黑的儿等共十四人，寻召回回司天台官郑阿里等十一有至京，议历法。三年改监为钦天，设四科：曰天文，曰漏刻，曰《大统历》，曰《回回历》。以监令、少监统之。岁造《大统民历》、《御览月令历》、《七政躔度历》、《六壬遁甲历》、《四季天象占验历》、《御览天象录》，各以时上。其日月交食分秒时刻、起复方位，先期以闻。十年三月，帝与群臣论天与七政之行，皆以蔡氏旋之说对。帝曰：“朕自起以来，仰观乾象，天左旋，七政右旋，历家之论，确然不易。尔等犹守蔡氏之说，岂所谓格物致知学乎？”十五年九月，诏翰林李翀、吴伯宗译《回回历书》。
十七年闰十月，漏刻博士元统言：“历以《大统》为名，而积分犹踵《授时》之数，非所以重始敬正也。况《授时》以元辛巳为历元，至洪武甲子积一百四年，年远数盈，渐差天度，合修改。七政运行不齐，其理深奥。闻有郭伯玉者，精明九数之理，宜徵令推算，以成一代之制。”报可。擢统为监令。统乃取《授时历》，去其岁实消长之说，析其条例，得四卷，以洪武十七年甲子为历元，命曰《大统历法通轨》。二十二年改监令、丞为监正、副。二十六年，监副李德芳言：“监正统孜作洪武甲子历元，不用消长之法，以考鲁献公十五年戊寅岁天正冬至，比辛巳为元，差四日半强。今当复用辛巳为元及消长之法。”疏入，元统奏辨。太祖曰：“二说皆难凭，但验七政交会行度无差者为是。”自是《大统历》元以洪武甲子，而推算仍依《授时》法。三十一年在罢回回钦天监，其《回回历》科仍旧。
永乐迁都顺天，仍用应天冬夏昼夜时刻，至正统十四年始改用顺天之数。其冬，景帝即位，天文生马轼奏，昼夜时刻不宜改。下廷臣集议。监正许惇等言：“前监正彭德清测验得北京北极出地四十度，比南京高七度有奇，冬至昼三十八刻，夏至昼六十二刻。奏准改入《大历》，永为定式。轼言诞妄，不足听。”帝曰：“太阳出入度数，当用四方之中。今京师在尧幽都之地，宁可为准。此后造历，仍用洪、永旧制。”
景泰元年正月辛卯，卯正三刻月食。监官误推辰初初刻，致失救护。下法司，论徒。诏宥之。成化十年，以监官多不职，擢云南提学童轩为太常寺少卿，掌监事。十五年十一月戊戍望，月食，监推又误，帝以天象微渺，不之罪也。十七年，真定教论俞正己上《改历议》，诏礼部及轩参考。尚书周洪谟等言：“正己止据《皇极经世书》及历代天文、历志推算气朔，又以己意创为八十七年约法，每月大小相间。轻率狂妄，宜正其罪。”遂下正己诏狱。十九年，天文生张升上言改历。钦天监谓祖制不可变，升说遂寝。弘治中，月食屡不应，日食亦舛。
正德十二、三年，连推日食起复，皆弗合。于是漏刻博士朱裕上言：“至元辛巳距今二百三十七年，岁久不能无差，若不量加损益，恐愈久愈舛。乞简大臣总理其事，令本监官生半推古法，半推新法，两相交验，回回科推验西域《九执历法》。仍遣官至各省，候土圭以测节气早晚。往复参较，则交食可正，而七政可齐。”部覆言：“裕及监官历学未必皆精，今十月望月食，中官正周濂等所推算，与古法及裕所奏不同，请至期考验。”既而濂等言：“日躔岁退之差一分五十秒。今正德乙亥，距至元辛巳二百三十五年，赤道岁差，当退天三度五十二分五十秒。不经改正，推步岂能有合。臣参较德验，得正德丙子岁前天正冬至气应二十七日四百七十五分，命得辛卯日丑初初刻，日躔赤道箕宿六度四十七五十秒，黄道箕宿五度九十六分四十三秒为历元。其气闰转交四应，并周天黄赤道，诸类立成，悉从岁差，随时改正。望敕礼臣并监正董其事。”部奏：“古法未可轻变，请仍旧法。别选精通历学者，同濂等以新法参验，更为奏请。”从之。
十五年，礼部员外郎郑善夫言：“日月交食，日食最为难测。盖月食分数，但论距交远近，别无四时加减，且月小暗虚大，八方所见皆同。若日为月所掩，则日大而月小，日上而月下，日远而月近。日行有四时之异，月行有九道之分。故南北殊观，时刻亦异。必须据地定表，因时求合。如正德九年八月辛卯日食，历官报食八分六十七秒，而闽、广之地，遂至食既。时刻分秒，安得而同？今宜按交食以更历元，时刻分秒，必使奇零剖析详尽。不然，积以岁月，躔离朓朒，又不合矣。”不报。十六年以南京户科给事中乐頀、工部主事华湘通历法，俱擢光禄少卿，管监事。
嘉靖二年，湘言：“古今善治历者三家，汉《太初》以钟律，唐《大衍》以蓍策，元《授时》以晷景为近。欲正历而不登台测景，皆空言臆见也。望许臣暂朝参，督中官正周濂等，及冬至前诣观象台，昼夜推测，日记月书，至来年冬至，以验二十四气、分至合朔、日躔月离、黄赤二道、昏旦中星、七政四余之度，视元辛巳所测，离合何如，差次录闻。更敕礼部延访精通理数者徵赴京师，令详定岁差，以成一代之制。”下礼部集议，而护谓历不可改，与湘颇异。礼部言：“湘欲自行测候，不为无识。请二臣各尽所见，穷极异同，以协天道。”从之。
七年，钦天监奏：“闰十月朔，《回回历》推日食二分四十七秒，《大统历》推不食。”已而不食。十九年三月癸巳朔，台官言日当食，已而不食。帝喜，以为天眷，然实由推步之疏也。隆庆三年，掌监事顺天府丞周相刊《大统历法》，其历原历叙古今诸历异同。万历十二年十一有癸酉朔《大统历》推日食九十二秒，《回回历》推不食，已而《回回历》验。礼科给事中侯先春因言：“迩年月食在酉而曰戌，月食将既而曰未九分，差舛甚矣。《回回历》科推算日月交食，五星凌犯，最为精密，何妨纂人《大统历》中，以备考验。”诏可。二十年五月戌夜月食，监官推算差一日。
二十三年，郑世子载堉进《圣寿万年历》、《律历融通》二书。疏略曰：“高皇帝革命时，元历未久，气朔未差，故不改作，但讨论润色而已。积年既久，气朔渐差。《后汉志》言‘三百年斗历改宪’。今以万历为元，而九年辛巳岁适当‘斗历改宪’之期，又协‘乾元用九’之义，历元正在是矣。臣尝取《大统》与《授时》二历较之，考古则气差三日，推今则时差九刻。夫差虽九刻，处夜半之际，所差便隔一日。节气差天一日，则置闰差一月。闰差一月，则时差一季。时差一季，则岁差一年。其失岂小小哉？盖因《授时》减分太峻，失之先天；《大统》不减，失之后天。因和会两家，酌取中数，立为新率，编撰成书，大旨出于许衡，而与历不同。黄钟乃律历本原，而旧历罕言之。新法则以步律吕爻象为首。尧时冬至日躔宿次，何承天推在须、女十度左右，一行推在女、虚间，元人历议亦云在女、虚之交。而《授时历》考之，乃在牛宿二度。《大统历》考之，乃在危宿一度。相差二十六度，皆不与《尧典》合。新法上考尧元年甲辰岁，夏至午中，日在柳宿十二度左右，冬至午中，日在女宿十度左右，心昴昏中，各去午正不逾半次，与承天、一行二家之说合。此皆与旧历不同大者，其余详见《历议》。望敕大臣名儒参订采用。”
其法首曰步发敛。取嘉靖甲寅岁为历元，元纪四千五百六十，期实千四百六十一，节气岁差一秒七十五忽，岁周气策无定率，各随岁差求而用之。律应（即气应）五十五日六十刻八十九分，律总旬周六十日。次曰步朔闰。朔望弦策与《授时》同，闰应十九日三十六刻十九分。次曰步日躔。日平行一度，躔周（即天周）三百六十五度二十五分，躔中半之，象策又半之，辰策十二分躔周之一。黄、赤道岁差，盈初缩末限，缩初盈末限，俱与《授时》同，周应二百三十八度二十二分三十九秒。（按《授时》求日度法，以周应加积度，命起虚七，其周应为自虚七度至箕寸十度之数。《万年历法》以周应减积度，命起角初，其周应为箕十度至角初度之数，当为二百八十六度四十五分。今数不合，似误。）次曰步晷漏。北极出地度分，冬、夏至中晷恒数，并二至昼夜长短刻数，俱以京师为准。参以岳台，以见随处里差之数。次曰步月离。月平行、转周、转中，与《授时》同。离周（即迟疾限）三百三十六限十六分六十秒，离中半之，离象又半之。转差一日九十刻六十分。转应七日五十刻三十四分。次曰步交道。正交、中交与《授时》同。距交十四度六十六分六十六秒。交周、交中、交差，与《授时》同。交应二十日四十七刻三十四分。次曰步交食。日食交外限六度，定法六十一，交内限八度定法八十一。月食限定法与《授时》同。次曰步五纬。合应：土星二百六十二日三千二十六分，木星三百一十一千八百三十七分，火星三百四十三日五千一百七十六分，金星二百三十八千三百四十七分，水星九十一日七千六百二十八分。历应：土星八千六百四日五千三百三十八分，木星四千一十八日六千七十三分，火星三百一十四日四十九分，金星六十日一千九百七十五分，水星二百五十三日七千四百九十七分。周率、度率及晨夕伏见度，俱与《授时》同。
其议岁余也，曰：“阴阳消长之理，以渐而积，未有不从秒起。《授时》考古，于百年之际顿加一分，于理未安。假如鲁隐公三年酉岁，下距至元辛巳二千年，以《授时》本法算之，于岁实当加二十分，得庚午日六刻，为其年天正冬至。次年壬戌岁，下距至元辛巳一千九百九十年，本法当加十九分，得乙亥日五十刻四十四分，为其年天正冬至。两冬至相减，得相距三百六十五日四十四刻四十四分，则是岁余九分日之四，非四分日之一也。历法之廖，莫甚于此。新法酌量，设若每年增损二秒，推而上之，则失昭公己丑；增损一秒至一秒半，则失僖公辛亥。今约取中数，其法置定距自相乘，七因八归，所得百，约之为分，得一秒七十五忽，则辛亥、己丑皆得矣。”
其议日躔也，曰：“古历见于《六经》，灼然可考者莫如日躔及中星。而推步家鲜有达者，盖由不知夏时、周正之异也。大抵夏历以节气为主，周历以中气为主。何承天以正月甲子夜半合朔雨水为上元，进乖夏朔，退非周正。故近代推《月令》、《小正》者、皆不与古合。尝以新法岁差，上考《尧典》中星，则所谓四仲月，盖自节气之始至于中气之终，三十日内之中星耳后世执者于二分二至，是亦误矣。”
其议侯极也，曰：“自汉至齐、梁，皆谓纽星即不动处。惟祖恒之测知纽星去极一度有余。自唐至宋，又测纽星去极三度有余。《元志》从三度，盖未有说也。新法不测纽星，以日景验之，于正方案上，周天度内权指一度为北极，自此度右旋，数至六十七度四十一分，为夏至日躔所在。复至一百一十五度二十一分，为冬至日躔所在。左旋，数亦如之。四处并中心五处，各识一针。于二至日午中，将案直立向南取景，使三针景合，然后县绳界取中绵，又取方十字界之，视横界上距极出地度分也，即极出地度分也。”
其议晷景也，曰：“何承天立表测景，始知自汉以来，冬至皆后天三日。然则推步晷景，乃治历之耍也。《授时历》亦凭晷景为本，而《历经》不载推步晷景之术，是为缺略，今用北极出地度数，兼弧矢二术以求之，庶尽其原。又随地形高下，立差以尽变，前此所未有也。”又曰：“《授时历》议据《前汉志》鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，引用为首。夫献公十五年下距隐公元年己未，岁百六十一年，其非春秋时明矣。而《元志》乃云‘自春秋献公以来’，又云‘昭公冬至，乃日度失行之验’，误矣。夫献公甲寅冬至，别无所据，惟刘歆《三统历》言之。岂左传不足信，而歆乃可信乎？太初元年冬至在辛酉，歆乃以为甲子，差天三日，尚不能知，而能逆知上下数百年乎？故凡春秋前后千载之间，气朔交食，《长历》、《大衍》所推近是，刘歆、班固所说全非也。”又曰：“《大衍历》议谓宋元嘉十三年一月甲戌，景长为日度变行，《授时历》议亦云，窃以为过矣。苟日度失行，当如岁差，渐渐而移。今岁既已不合，来岁岂能复合耶？盖前人所测，或未密耳。夫冬至之景一丈有余，表高晷长，则景虚而淡，或设望筒、副表、景符之类以求实景。然望筒或一低昂，副表、景符或一前却，所据之表或稍有倾欹，圭面或稍有斜侧，二至前后数日之景，进退只在毫厘之间，耍亦难辨。况委托之人，未智当否。九服之远，既非自挚，所报晷景，宁足信乎？”
其议漏刻也，曰：“日月带食出入，五星晨昏伏见，历家设法悉因晷漏为准。而晷漏则随地势南北，辰极高下为异焉。元人都燕，其《授时历》七曜出没之早晏，四时昼夜之永短，皆准大都晷漏。国初都金陵，《大统历》晷漏改徒南京，冬夏至相差三刻有奇。今推交食分秒，南北东西等差及五星定伏定见，皆因元人旧法，而独改其漏刻，是以互神舛误也。故新法晷漏，照依元旧。”
其议日食也，曰：“日道与月道相交处有二，若正会于交，则食既，若但在交前后相近者，则食而不既。此天之交限也。又有人之交限，假令中国食既，戴日之下，所亏才半，化外之地，则交而不食。易地反观，亦如之。何则？日如大赤丸，月如小黑丸，共县一绵，日上而下，即其下正望之，黑丸必掩赤丸，似食之既；及旁观有远近之差，则食数有多寡矣。春分已后，日行赤道北畔，交外偏多，交内偏少。秋分已后，日行赤道南畔，交外偏少，交内偏多。是故有南北差。冬至已后，日行黄道东畔，午前偏多，午后偏少。夏至已后，日行黄道西畔，午前偏少，午后偏多。是故有东西差。日中仰视则高，旦暮平视则低。是有距午差。食于中前见早，食于中后见迟。是故有时差，凡此诸差，唯日有之，月则无也。故推交食，惟日颇难。欲推九服之变，必各据其处，考晷景之短长，揆辰极之高下，庶几得之。《历经》推定之数，徒以燕都所见者言之耳。旧云：‘月行内道，食多有验。月行外道，食多不验。’又云：‘天之交限，虽系内道，若在人之交限之外，类同外道，日亦不食。’此说似矣，而未尽也。假若夏到前后，日食于寅卯酉戌之间，人向东北、西北观之，则外道食分反多于内道矣。日体大于月，月不能尽掩之，或遇食既，而日光四溢，形如金环，故日无食十分之理。虽既，亦止九分八十秒。《授时历》日食，阳历限六度，定法六十，阴历限八度，定法八十。各置其限度，如其定法而一，皆得十分。今于其定法下，各加一数以除限度，则得九分八十余秒也。”
其议月食也，曰：“暗虚者，景也。景之蔽月，无早晚高卑之异，四时九服其之殊。譬如县一黑丸于暗室，其左燃烛，其右县一白丸，若烛光为黑丸所蔽，则白丸不受其光矣。人在四旁观之，所见无不同也。故月食无时差之说。自《纪元历》妄立时差，《授时》因之，误矣。”
其议五纬也，曰：“古法推步五纬，不如变数之加减。北齐张子信仰观岁久，知五纬有盈缩之变，当加减以求逐日之躔。盖五纬出入黄道内外，各自有其道，视日远近为迟疾，其变数之加减，如里路之径直斜曲也。宋人有言曰：‘五星行度，惟留退之际最多差。自内而进者，其退必向外，自外而进者，其退必由内。其迹台循柳叶，两末锐于中间，往还之道相去甚远。故星行两末度稍迟，以其斜行故也。中间行度稍速，以其径捷故也。’前代修历，止增损旧法而已，未尝实考天度。其法须测验每夜昏晓夜半，月及五星所在度秒，置簿录之。满五年，其间去阴云昼见日数外，可行三年实行，然后可以算术缀之也。”
书上，礼部尚范谦奏：“岁差之法，自虞喜以来，代有差法之议，竟无昼一之规。所以求之者，大约有三：考月令之中星，测二至之日景，验交食之分秒。考以衡管，测以臬表，验以漏刻，斯亦危得之矣。历家以周天三百六十五度四分度之一，纪七政之行，又析度为百分，分为百秒，可谓密矣。然浑象之体，径仅数尺，布周天度，每度不及指许，安所置分秒哉？至于臬表之树不过数尺，刻漏之筹不越数寸。以天之高且广也，而以寸之物求之，欲其纤微不爽，不亦难乎？故方其差在公秒之间，无可验者，至蹬逾一度，乃可以管窥耳。此所以穷古今之智七巧，不能尽其变欤？即如世子言，以《大统》、《授时》二历相较，考古则气差三日，推今则时差必刻。夫时差九刻，在亥子之间则移一日，在晦朔之交则移一月，此可验之于近也。设移而前，则生明在二日之昏，设移而后，则生明在四日之夕矣。今似未至此也。其书应发钦天监参订测验。世子留心历学，博通今古，宜赐奖谕。”从之。
河南佥事刑云路上书言：“治历之耍治历之耍，无逾观象、测景、候时、筹策四事。今丙申年日至，臣测得乙未日未正一刻，而《大统》推在申正二刻，相差九刻。且今年立春、夏至、立冬皆适直子半之交。臣推立春乙亥，而《大统》推丙子；夏至壬辰，而《大统》推癸巳；立冬巳酉，而《大统》推庚戌。相隔皆一日。若或直元日于子半，则当退履端于月穷，而朝贺大礼在月正二日矣。岂细故耶？闰八月朔，日食，《大统》推初亏巳正二刻，食几既，而臣候初亏巳正一刻，食止七分余。《大统》实后天几二刻，则闰应及转应、交应，各宜增损之矣。”钦天监见云路疏，甚恶之。监正张应候奏诋，谓其僣妄惑世。礼部尚书范谦乃言：“历为国家大事，士夫所当讲求，非历士之所得私。律例所禁，乃妄言妖祥者耳。监官拘守成法，不能修改合天。幸有其人，所当和衷共事，不宜妒忌。乞以云路提叔钦天监事，督率官属，精心测候，以成钜典。”议上，不报。
三十八年，监推十一月壬寅朔日食分秒及亏圆之候，职方郎范守己疏驳其误。礼官因请博求知历学者，令与监官昼夜推测，庶几历法靡差。于是五官正周子愚言：“大西洋归化远臣庞迪峨、熊三拨等，携有彼国历法，多中国典籍所未备者。乞视洪中译西域历法例，取知历儒臣率同监官，将诸书尽译，以补典籍之缺。”先是，大西洋人利玛窦进贡土物，而迪峨、三拨及能华同、邓玉函、汤若望等先后至，俱精究天文历法。礼部因奏：“精通历法，如云路、守己为时所推，请改授京卿，共理历事。翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻亦皆精心历理，可与迪峨、三拨等同译西洋法，俾云路等参订修改。然历法疏密，莫显于交食，欲议修历，必重测验。乞敕所司修治仪器，以便从事。”疏入，留中。未几云路、之藻皆召至京，参预历事。云路据其所学，之藻则以西法为宗。
四十一年，之藻已改衔南京太仆少卿，奏上西洋历法，略言台监推算日月交食时刻亏分之谬。而力荐迪峨、三拨及华民、阳玛诺等，言：“其所论天文历数，有中国昔贤所未及者，不徒论其数，又能明其所以然之理。其所制窥天、窥日之器，种种精绝。今迪峨等年龄向衰，乞敕礼部开局，取其历法，译出成书。”礼科姚永济亦以为言。时庶务因循，未暇开局也。
四十四年，云路献《七政真数》，言：“步历之法，必以两交相对。两交正，而中间时刻分秒之度数，一一可按。日月之交食，五星之凌犯，皆日月五星之相交也。两交相对，互相发明，七政之能事毕矣。”天启元年春，云路复详述古今时刻，与钦天监所推互异。症新法至密，章下礼部。四月壬申朔日食，云路所推食分时刻，与钦天监所推互异。自言新法至密，至期考验，皆与天下不合。云路又尝论《大统》宫度交界，当以岁差考定，不当仍用《授时》三百年前所测之数。又月建月关半杓所指，斗杓有岁差，而月建无改移。皆笃论也。
崇祯二年五月乙酉朔日食，礼部侍郎徐光启依西法预推，顺天府见食二分有奇，琼州食既，大宁以北不食。《大统》、《回回》所推，顺天食分时刻，与光启妻异。已而光启法验，余皆疏。帝切责监官。时五官正戈丰年等言：“《大统》乃国初所定，寮即郭守敬《授时历》也，二百六十年毫未增损。自至元十八年造历，越十八年为大德三年八月，已当食不食，六年六月又食而失推。是时守敬方知院事，亦付之无可奈佑，况斤斤守法者哉？今若循旧，向后不能无差。”于是礼部奏开局修改。乃以光启督修历法。光启言：近世言历诸家，大都宗郭守敬法，至若岁差环转，岁实参差，天有纬度，地有经度，列宿有本行，月五星有本轮，日月有真会、视会，皆古所未闻，惟西历有之。而舍此数法，则交食凌犯，终无密合理。宜取其法参互考订，使与《大统》法会同归一。”
已而光启上历法修正十事：其一，议岁差，每岁东行渐长短之数，以正古来百年、五十年、六十年多寡互异之说。其二，议岁实小余，昔多今少，渐次改易，及日景长短岁岁不同之因，以定冬至，以正气明朔。其三，每日测验日行经度，以定盈缩加减真率，东西南北高下之差，以步月离。其四，夜测月行经纬度数，以定交转迟疾真率，东西北高下之差，以步月离。其五，密测列宿以纬行度，以定七政盈缩、迟疾、顺逆、违离、远近之数。其六，密测五星经纬行度，以定小轮行度迟疾、留逆、伏见之数，东西南北高下之差，以推步凌犯。其七，推变黄道、赤道广狭度数，密测二道距度，及月五星各道与黄道相距之度，以定交转。其八，议日月去交远近及真会、视会之因，以定距午时差之真率，以正交食。其九，测日行，考知二极出入地度数，以定周天纬度，以齐七政。因月食考知东西相距地轮经度，以定交食时刻。其十，依唐、元法，随地测验二极出入地度数，地轮经纬，以求昼夜晨昏永短，以正交食有无、先后、多寡之数。因举南京太仆少卿李之藻、西洋人能华民、邓玉涵。报可。九月癸卯开历局。三年，玉函卒，又徵西洋人汤若望、罗雅谷译书演算。光启进本部尚书，仍督修历法。
时巡按四御史马如蚊荐资县诸生冷守中精历学以所呈历书送局。光启力驳其谬，并预推次年四月川食时刻，令其临时比测。四年正月，光启进《历书》二十四卷。夏四月戊午，夜望月食，光启预推分秒时刻方位。奏言：“日食随地不同，则用地纬度算其食分多少，用地经度算其加时早晏。月食分秒，海内并同，止用地经度推求先后时刻。臣从舆地图约略推步，开载各布政司月食初亏度分，盖食分多少既天下皆同，则余率可以类推，不若日食之经纬各殊，心须详备也。又月体一十五分，则尽入暗虚亦十五分止耳。今推二十六分六十六十秒者，盖暗虚体大于月，若食时去交稍远，即月体不能全入暗虚，止从月体论其分数。是夕之食，极近於交，故月入暗虚十五分方为食既，更进一十一分有奇，乃得生光，故为二十六分有奇。如《回回历》推十八分四十七秒，略同此法也。”已四川报次序守中所推月食实差二时，而新法密合。
光启又进《历书》二十一卷。冬十月辛丑朔日食，新法预顺天见食二分一十二秒，应天以南下食，大汉以北食既，例以京师见食不及三分，不救护。光启言：
月食在夜，加时早晚，若无定据。惟日食按晷定时，无可迁就。故历法疏密，此为的症。臣等纂辑新法，渐次就绪，而向生交食为期尚远，此时不与监臣共见，至成历后，将何徵信？且是食之必当测俟，更有说焉。
旧法食在正中，则无时差。今此食既在日中，而新法仍有时差者，盖以七政运行皆依黄道，不由赤道。旧法所谓中乃道之午中，非黄道之正中也。黄赤道二道之中，独冬夏至加时正午，乃得同度。今十月朔去冬至度数尚远，两中之差，二下三度有奇，岂可因加时近午，不加不减乎？适际此日，又值此时，足可验时差之正术，二也。
本方之地经度，未得真率，则加时难定，其法心从交食时测验数次，乃可较勘昼一。今此食依新术测候，其加时刻分，或后未合，当取从前所记地经度分，斟酌改定，此可以求里差之真率，二也。
时差一法，但知中无加减，而不知中分黄赤，今一经目见，人人知加时之因黄道，因此推彼，他术皆然，足以知学习之甚易，三也。
即分数甚少，宜详加测候，以求显验。帝是其言。至期，光启率监臣预点日晷，调壶漏，用测高仪器测食甚日晷高度。又于密室中斜开一隙，置窥筒、远镜以测亏圆，昼日体分板分数图板以定食分，其时刻、高度悉合，惟食甚分数未及二分。于是光启言：“今食甚之度分密合，则经度里差已无烦更定矣。独食分未合，原推者盖因太阳光大，能减月魄，必食及四五分以上，乃得与原推相合，然此测，用密室窥筒，故能得此分数，倘止凭目力，或水盆照映，则眩耀不定，恐少尚不止此也。”
时有满城布衣魏文魁，著《历元》、《历测》二书，令其子象乾进《历元》於朝，通政司送局考验。光启摘当极论者七事：其一，岁实自汉以来，代有减差，到《授时》减为二十四分二十五秒。依郭法百年消一，今当为二十一秒有奇。而《历元》用赵知微三十六秒，翻覆骤加。其一，弧背求弦矢，宜用密率。今《历测》中犹用径一围三之法，不合弧矢真数。其一，盈缩之限，不在冬夏至，宜在冬夏至后六度。今考日躔，春分迄夏至，夏至迄秋分，此两限中，日时刻分不等。又立春迄立夏，立秋迄立冬，此两限中，日时刻分亦不等。测量可见。其一，言太阴最高得疾，最低得迟，且以圭表测而得之，非也。太阴迟疾是入转内事，表测高下是入交内事，岂容混推。而月行转周之上，又复左旋，所以最高向西行极迟，最低向东行乃极疾，旧法正相反。其一，言日食正午无时差，非也。时差言距，非距赤道之午中，乃距黄道限东西各九十度之中也。黄道限之中，有距午前后二十余度者，但依午正加减，焉能必合。其一，言交食定限，阴历八度，阳历六度，非也。日食，阴历当十七度，阳历当八度。月食则阴阳历俱十二度。其一，《历测》云：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日食不尽如钩，昼星见。今以《授时》推之，止食六分九十六秒，郭历舛矣。”夫月食天下皆同，日食九服各异。南宋都于金陵，郭历造于燕地，北极出地差八度，时在十一月则食差当得二分弱，其云“不尽如钩”，当在九分左右。郭历推得七分弱，乃密合，非舛也。本局今定日食分数，首言交，次言地，次言时，一不可阙。已而文魁反覆论难，光启更申前说，著为《学历浊辨》。
其论岁实小余及日食变差尤明晰。曰：“岁实小余，自汉迄元渐次消减。今新法定用岁实，更减于元。不知者必谓不惟先天，更先《大统》。乃以推壬申冬至，《大统》得已亥寅正一刻，而新法得辰初一刻十八分。何也？盖正岁年与步月离相似，冬至无定率，与定朔、定望无定率一也。朔望无定率，宜以平朔望加减之，冬至无定率，宜以平年加减之。故新法之平冬至，虽在《大统》前，而定冬至恒在《大统》后也。”又曰：“宋仁宗天圣二年甲子岁，五月丁亥朔，历官推当食不食，诸历推算皆云当食。夫于法则实当食，而于时则实不食。今当何以解之？盖日食有变差一法，月在阴历，距交十度强，于法当食。而独此日此之南北差，变为东西差，故论天行，则地心与日月相参直，实不失食。而从人目所见，则日月相距近变为远，实不得食。顾独汴京为然，若从汴以东数千里，则渐见食，至东北万余里外，则全见食也。夫变差时不同，或多变为少，或少变为多，或有变为无，或无变为有。推历之难，全在此等。”未几，光启入愉阁。
五年九月十五日，月食，监推初亏在卯初一刻，光启等推在卯初三刻，回回科推在辰初初刻。三法异同，致奉诘问。至期测候，阴云不见，无可徵验。光启具陈三法不同之故，言：
时刻之加减，由于盈缩、迟疾两差。而盈缩差，旧法起冬夏至，新法起最高，最高有行分，惟宋绍兴间与夏至同度。郭守敬后此百年，去离一度有奇，故未觉。今最高在夏至后六度。此两法之盈缩差所不同也。迟疾差，旧法只用一转周，新法谓之自行轮。自行之外，又有两次轮。此两法之迟疾差所以不同也。至于《回回历》又异者，或由於四应，或由于里差，臣实未晓其故。总之，三家俱依本法推步，不能变法迁就也。
将来有宜讲求者二端：一曰食分多寡。日食时，阳晶晃耀，每先食而后见。月食时，游气纷侵，每先见而后食。其差至一分以上。今欲灼见实分，有近造窥筒，日食时，于密室中取其光景，映照尺素之上，初亏至复圆。分数真确，书然不爽。月食用以仰观二体离合之际，鄞鄂著明。与目测迥异。此定分法也。一曰加时早晚。定时之术，壶漏为古法，轮钟为新法，然不若求端於日星，昼则用日，夜则任用一星。皆以仪器测取经纬度数，推算得之。此定时法也。二法既立，则诸术之疏密，毫末莫遁矣。
古今月食，诸史不载。日食，自汉至隋，凡二百九十三，而食于晦者七十七，晦前一日者三，初二日者三，其疏如此。唐至五代凡一百一十，而食于晦者一，初二日者一，初三日者一，稍密矣。宋凡一百四十八人，无晦食者，更密矣。犹有推食而不食者一。至加时差至四五刻者，当其时已然。可知高速无穷之事，必积时累世，仍稍见其端儿。故汉至今千七百岁，立法者十有三家，而守敬为最优，尚不能无刻之差，而况于沿习旧法者，何能现其精密哉？
是年，光启又进《历书》三千卷。明年冬十月，光启以病辞历务，以山东参政李天经代之。逾月而光启卒。七年，魏文魁上言，历官所推交食节气皆非是。于是命魁入京测验。是时言历者四家，《大统》、《回回》外、别立西洋为西局，文魁为炙局。言人人殊，纷若聚讼焉。
天经缮进《历书》凡二十九卷，并星屏一具，俱故辅光启督率西人所造也。天经预推五星凌犯会合行度，言：“闰八月二十四，木犯积履尸气。九月初四昏初，火土同度。初七卯正，金土同度。十一昏初，金火同度。旧法推火土同度，在初七，是后天三日。金火同度在初三，是先天八日。”而文魁则言，天经所报，木星犯积尸不合。天经又言：“臣于闰八月二十五日夜及九月初一日夜，同体臣陈六韦等，用窥管测，见积尸为数十小星围聚，木与积尸，共纳管中。盖窥圆径寸许，两星相距三十分内者，方得同见。如觜宿三星相距二十七分，则不能同见。而文魁但据臆算，未经实测。据云初二日木星已在柳前，则前此岂能越鬼宿而飞渡乎？”天经又推木星退行、顺行，两经鬼宿，其度分晷刻，已而皆验，于是文魁说绌。
天经又进《历书》三十二卷，并日晷、星晷、窥筒诸仪器。八年四月，又上《乙亥丙子七政行度历》及《参订历法条议》二十六则。
某七政公说之议七：一曰诸曜之应宜改。盖日月五星平行起算之根则为应，乃某曜某日某时躔某宫次之数。今新法改定诸应，悉从崇祯元年戊辰前，冬至后，己卯日子正为始。二曰测诸曜行度，应用黄道仪。盖太阳由黄道行，月星各有本道，出入黄道内外，不行赤道。若用赤道仪测之，所得经纬度分，须通以黄、赤通率表，不如用黄道仪，即得七政之本度为便也。三曰诸方七政行度，随地不等。盖日月东西见食，其时各有先后，既无庸疑矣。则太阳之躔二十四节气，与月五星之掩食凌犯，安得不与交食同一理乎？故新法水成诸表，虽以顺天府为主，而推算诸方行度亦皆各有本法。四曰诸曜加减分，用平、立、定三差法，尚不足。盖加减平行以求自行，乃历家耍务。第天实圆体，与平行异类，旧所用三差法，俱从句股平行定者，于天体未合。即扣盈缩损益之数，未得其真。今新法加减诸表，乃以圆齐圆，始可合天。五曰随时随地可求诸曜之经度。旧法欲得某日曜经度，必先推各曜冬至日所行宫度宿次，后乃以各段日度比算始得。今法不拘时日方所，只简本表推步即是。六曰径一围三，非弧矢真法。盖古历家以直绵测圆形，名曰弧矢法，而算用径一围三，廖也。今立割圆八绵表，其用简而大。弧矢等绵，但乘除一次，使能得之。七曰球上三角三弧形，非句股可尽。盖古法测天以句股为本，然句股能御直角，不能御斜角。且天为圆球，其面上与诸道相割生多三弧形，句股不足以尽之。
恒星之议四：一曰恒星本行，即所谓岁差，从黄道极起算。盖各星距赤极度分，古今不同。其距赤道内外地也，亦古今不同。而距黄极或距黄道内外，则皆终古如一，所以知日月五星俱依黄道行。其恒星本行，应从黄极起算，以为岁差之率。二曰古今各宿度不同。盖恒星以黄道极为极，故各宿距星行度，与赤道极时近时远。行渐近极，即赤道所出过距星绵渐密，其本宿赤道弧则较小。渐远极，即过距星绵渐疏，其本宿赤道弧则较大。此缘二道二极不同，非距星有异行，亦非距星有易位也。如觜宿距星，汉测距参二度，唐测一度，宋崇宁测半度，元郭守敬五分。今测之，不啻无分，且侵入参宿二十四分，非一症乎？三曰夜中测星定时。盖太阳依赤道左行，每十五度为一小时。今任测一星距子午圈前后度分，又以本星经行与太阳经行查加减，得太阳距子午圈度分，因以变为真时刻。四曰宋时所定十二宫次，在某宿度，今不能定于某宿度。盖因恒星有本行，宿度已右移故也。
太阳之议四：一太阳盈缩之限，非冬、夏二至，所谓最高及最高冲出也。此限年年右行，今已过二至后六度有奇。二曰以圭表测冬夏二至，非法之善。盖二至前后，太阳南北之行度甚微，计一丈之表，其一日之影差不过一分三十秒，则一秒得六刻有奇，若测差二三秒，即差几二十刻，安所得准乎？今法独用春、秋二分，盖以此时太阳一日南北行二十四分，一日之景差一寸二分，即测差一二秒，算不得满一刻，较二至为最密。三曰日出入分，应从顺天府起算。盖诸方北极出地不同，晨昏时刻亦因以异。《大统》依应天府算，上以昼夜长短，日月东刃西带食，所推不准。今依天罕改定。四曰平节气，非上天真节气。盖旧法气策，乃岁周二十四分之一。然太阳之行有盈有缩，不得平分。如以平分，则春分后天二日，秋分先天二日矣。今悉改定。
太阴之议四：一曰朔望之外，别有损益分，一加减不足以尽之。盖旧定太阴平行，算朔望加减，大率五度有奇，然两弦时多寡不一，即《授时》亦言朔望外，平行数不定，明其理未著其法。今于加减外，再用一加减，名为二三均数。二曰纬度不能定于五度，时多时寡。古今历家以交食分数及交泛等，测量定黄白二道相距约五度。然朔望外两道距度，有损有益，大距计五度三公度之一。若一月有两食，其弦时用仪求距黄道度五度，未能合天。三曰交行有损益分。盖罗喉、计都即正交、中交行度，古今为平行。今细测之，月有时在交上，以平求之，必不合算。因设一加减，为交行均数。四曰天行无紫气。旧谓生于闰余，又为木之余气。今细考诸曜，无象可明，知为妄增。
交食之议四：一曰日月景径分恒不一。盖日月时行最高，有时行最高，有时行最卑，因相距有远近，见有大小。又因远近竿太阴过景，时有厚薄，所以径分不能为一。二曰日食午正非中限，乃以黄道九十度限为中限。盖南北东西差俱依黄道，则时差安得不从黄道道论其初末以求中限乎？且黄道出地平上，两象限自有其高，亦自有其中。此理未明，或宜加反减，宜减反加，凡加进不合者由此也。三曰日食初亏复圆，时刻多寡恒不等，非二时折半之说。盖视差能变实行为视行，则以视差较食甚前后，鲜有不参差者。夫视差既食甚前后不一，又安能令视行前后一乎？今以视行推变时刻，则初亏复圆，其不能相等也明矣。四曰诸方各依地经推算时刻及日食分。盖地面上东西见日月出没，各有前后不同即所得时刻亦不同。故见食虽一而时刻异，此日月食皆一理。若日食则因视差随地不一，即太阴视距不一，所见食分亦异焉。
五纬之议三：一曰五星应用太阳视行，不得以段目定之。盖五星皆以太阳为主，与太阳合则疾行，冲则退行。且太阳之行有迟疾，则五星合伏日数，时寡时多，自不可以段目定其度分。二曰五星应加纬行。盖五星出入黄道，各有定距度。又木、土、火三星冲太阳纬大，合太阳纬小。金、水二星顺伏纬小，逆伏纬大。三曰测五星，当用恒星为准则。盖测星用黄道仪外，宜用弧矢等仪。以所测纬星视距二恒星若干度分，依法布算，方得本星真经纬度分。或绘图亦可免算。
是时新法书器俱完，屡测交食凌犯俱密合，但魏文魁等多方阴挠，内官实左右之。以故帝意不能决，谕天经同监局虚心详究，务祈书一。是年，天经推水星伏见及木星所在之度，皆与《大统》各殊，而新法为合。又推八月二十七日寅正二刻，木、火、月三曜同在张六度，而《大统》推木在张四度，火、月张三度。至期，果同在张六度。九年正月十五日辛酉，晓望月食。天经及《大统》、《回回》、东局，各顶推亏圆食甚分秒时刻。天经恐至期云掩难见，乃按里差，推河南、山西所见时刻，奏遣官分行测验。其日，天经与罗雅谷、汤若望、大理评事王应遴、礼臣李焻及监局守登、文魁等赴台测验，惟天经所推独合。已而，河南所报尽合原推，山西则食时云掩无从考验。
帝以测验月食，新法为近，但十五日雨水，而天经以十三日为雨水，令再奏明。天经覆言：
谕节气有二法：一为平节气，一为定节气。平节气者，以一岁之实，二十四平分之，每得一十五日有奇，为一节气。故从岁前冬至起算，必越六十日八十七刻有奇为雨水。旧法所推十五日子正一刻者此也，定节气者，以三百六十为周天度，而亦以二十四平分之，每得一十五度为一节气。从岁前冬至起算，历五十九日二刻有奇，而太阳行满六十度为雨水。新法所推十三日卯初二刻八分者此也。太阳之行胡盈有缩，非用法加减之，必不合天，安得平分岁实为节气乎？以春分症之，其理更明。分者，黄赤相交之点，太阳行至此，乃昼夜平分。旧法于二月十四日下，注昼五十刻、夜五十刻是也。夫十四日书夜已平分，则新法推十四日春分者为合天，而旧法推十六日者，后天二日矣。知春分，则秋分及各节气可知，而无疑於雨水矣。
已而天经于春分屈期，每午赴台测午正太阳高度。二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十分。末经乃言：
京师北极出地三十九度五十五分，则赤道应高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，其午正高度与赤道高度等，过此则太阳高度必渐多，今置十四日所测高度，加以地半经差二分，较赤道已多五分。盖原推春分在卯正二五分弱，是时每日纬行二十四分弱，时差二十一刻五分，则纬行应加五分强。至十五日，并地半径较赤道高度已多至三十分，况十六日乎？是春分当在十四，不当在十六也。秋风京然。又出《节气图》曰：
内规分三百六十五度四分度之一者，日度也。外规公三百六十度者，天度也。自冬至起算，越九十一日三十一刻六分，而始历春分者，日为之限敢，乃在天则已逾二度余矣。又越二百七十三日九十三刻，一十九分，而即交秋分者，亦日为之限也，乃在天不及二度余。岂非旧法春分每后天二日，秋分先天二日耶？
十年正月辛丑朔，日食，天经等预推京师师见食一分一十秒，应天及各省分秒各殊，惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。《大统》推食一分六十三秒，《回回》推食三分七十秒，东局所推止游气侵光三十馀秒。而食时推验，惟天经为密。时将废《大统》，用新法，于上管理另局历务代州知州郭正中言：“中历必不可尽废，西历必不可专行。四历各有短长，当参合诸家，兼收西法。”十一年正月，乃诏仍行《大统历》，如交食经纬，晦朔弦望，因年远有差者，旁求参考新法与回回科并存。上年，进天经光禄寺卿，仍管历务，十四年十二月，天经言：“《大统》置闰，但论月无中气，新法尤视合朔后先。今所进十五年新历，其十月、十二月中气，适交次月合朔时刻之前，所以月内虽无中气，而实非闰月。盖气在朔前，则此气尚属前月之晦也。至十六年第二月止有惊蛰一节，而春分中气，交第三月合朔之后，则第二月为闰正月，第三月为第二月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食，测又独验。八月，诏西法果密，即改为《大统历法》，通行天下。未几国变，竟未施行。本朝用为宪历。
按明制，历官皆世业，成、弘间尚能建修改之议，万历以后则皆专己守残而已。其非历官而知历者，郑世子而外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有著述。唐顺之未有成书，其议论散见周述学之《历宗通议》、《历宗中经》。袁黄著《历法新书》，其天地人三元，则本之陈壤。而雷宗亦著《合壁连珠历法》皆会通回回历以入《授时》，虽不能如郑世子之精微，其于中西历理，亦有所发明。邢云路《古今律历考》，或言本出魏文魁手，文魁学本虑浅，无怪其所疏《授时》，皆不得其旨也。
西洋人之来中土者，皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同，而加精密。尝考前代，远国之人言历法者多在西域，而东南北无闻。（唐之《九执律》，元之《万年历》，及洪武间所译《回回历》，皆西域也。）盖尧命义、和仲叔分宅四方，义仲、义叔、和叔则以隅夷、南交、朔方为限，独和仲但曰“宅西”，而不限以地，岂非当时声教之西被者远哉。至于周末，畴人子弟分散。西域、天方诸国，接壤西陲，百若东南有大海之阻，又无极北严寒之畏，则抱书器而西征，势固便也。瓯罗巴在回回西，其风俗相类，而好奇喜新竞胜之习过之。故则历法与回回同源，而世世增修，遂非回回所及，亦其好胜之欲为之也。义、和既失其守，古籍之可见者，仅有《周髀》范围，亦可知其源流之所自矣。夫旁搜采以续千百年之坠绪，亦礼秀求野之意也，故备论也。